Diffuziya

Bəzi zərrəciklər bir stəkanda suda həll olunur. İlkin halda onlar stəkanın bir küncündə yığılmışdır. Zərrəciklər təsadüfi hərəkət edir və zaman keçdikcə yüksək konsentrasiyalı bölgədən aşağı konsentrasiyalı bölgəyə doğru yayılır və stəkanın bütün həcmində bərabər paylanır. Nəticədə, diffuziya hələ də davam etsə də, xalis sel sıfır olur və zərrəciklərin paylanması makroskopik olaraq sabitləşir.

Diffuziya (lat. diffusio "yayılma")— bir-birinə toxunan maddələrin atom və molekullarının istilik hərəkəti nəticəsində qarşılıqlı nüfuz etməsi hadisəsi. Maddənin sistemdə qeyri-müntəzəm paylanması diffuziya üçün əlverişli şəraitdir. Maddə diffuziya edən hissəciklərin sıxlığı çox olan yerdən sıxlığı az olan yerə doğru axır, nəticədə diffuziya edən hissəciklər bütün sistemdə bərabər paylana bilir.

Bənövşəyi boyanın suda diffuziyası

Diffuziyanın sürəti molekullararası məsafədən və temperaturdan asılıdır. Qaz molekulları arasındakı məsafə böyük olduğundan onlarda diffuziya maye və bərk cisimlərə nisbətən daha sürətlə baş verir. Məsələn, otağın bir küncünə ətir dağılarsa, onun iyi tez bir zamanda bütün otağa yayılar. Deməli, ətrin molekulları tez bir zamanda hava molekullarına qarışmışdır. Bir neçə damcı boyanın stəkandakı suyu tədricən rəngləndirməsi isə mayelərdəki diffuziyaya misaldır. Diffuziya bərk cisimlərdə də müşahidə olunur. Lakin bərk cisimlərin molekulları maye və qazlara nəzərən bir-birinə daha sıx yerləşdiyindən onlarda diffuziya çox yavaş gedir. Məsələn, Robert Boyl göstərmişdir ki, üzəri qızılla örtülmüş misdə tədricən qızıl misə diffuziya edəcəkdir. Lakin normal şəraitdə (otaq temperaturu və atmosfer təzyiqində) qızıl tərkibli təbəqə yalnız bir neçə min ildən sonra bir neçə mikron qalınlığa çata bilər. Başqa misal kimi Uilyam Roberts-Ostenin qurğuşunun qızıla diffuziyasına həsr olunmuş sistematik tədqiqat işini göstərmək olar. O sübut etmişdir ki, hamar cilalanmış qurğuşun və qızıl lövhələri ağır yüklə bir-birinə sıxdıqda, 5 ildən sonra qurğuşun molekulları qızıl molekulları arasına 1 mm nüfuz edir. Qızıl molekulları da qurğuşun molekulları arasına 1 mm nüfuz edir.

Maddənin temperaturunu yüksəltdikdə molekulların nizamsız hərəkət sürəti artır və bu səbəbdən də onların digər maddələrin molekulları arasına nüfuzetmə qabiliyyəti yüksəlir. Deməli, diffuziyanın sürəti temperaturdan da asılıdır.

Diffuziya həm təbiət hadisələrində müşahidə olunur, həm də məişətdə nəzərə alınır: diffuziya əsasında qida maddələri torpaqdan bitkinin köklərinə nüfuz edir. Çayın dəmlənməsi, tərəvəzin duza, meyvələrin şirəyə qoyulması da diffuziyaya əsaslanır.

Diffuziya diffuziya edən varlığın daxili təsadüfiliyi səbəbindən stoxastik proses sayılır və real həyatdakı bir çox stoxastik ssenariləri modelləşdirmək üçün istifadə edilə bilər. Buna görə də diffuziya anlayışı və ona müvafiq olan riyazi modellər fizikadan kənarda bir neçə sahədə, məsələn, kimya, biologiya, sosiologiya, statistika, ehtimal nəzəriyyəsi, informasiya nəzəriyyəsi, neyron şəbəkələri, data elmi, maliyyə və marketinq kimi sahələrdə də tətbiq olunur. Bütün bu sahələr üçün ortaq olan əsas ideya budur: diffuziyaya məruz qalan maddə və ya çoxluq həmin maddə və ya çoxluğun yüksək konsentrasiyada olduğu vahid nöqtə və ya yerdən aşağı konsentrasiyalı yerə doğru yayılır.

Diffuziya modelləri

Fik tənlikləri

Termodinamik baxımdan istənilən tarazlıq prosesinin hərəkətverici qüvvəsi entropiyanın artmasıdır. Sabit təzyiq və temperaturda bu rolu kimyəvi potensial oynayır və maddə axınını təmin edir. Bu halda, maddə hissəciklərinin seli konsentrasiya və kimyəvi potensialın qradiyenti ilə mütənasib olur:

Kimyəvi potensialın qazlar və zəif məhlullar üçün keçərli olan konsentrasiya üzrə sıraya ayrılışından istifadə etməklə,

alınır. Beləliklə, hissəcik seli ifadəsində baş həddin aşağıdakı kimi olduğunu göstərmək olar.

Bu tənlik Fikin birinci qanununu ifadə edir. Fikin ikinci qanunu konsentrasiya qradiyentinin zamana görə dəyişməsi ilə əlaqədardır.

Bir sıra hallarda, geniş temperatur diapazonunda bu asılılıq Eynşteyn münasibətini ifadə edir.

Kimyəvi potensial qradiyentinə paralel olaraq tətbiq edilən əlavə bir sahə sabit vəziyyəti pozur. Bu halda, diffuziya prosesləri qeyri-xətti Fokker-Plank tənliyi ilə təsvir olunur.

Fik tənliyinin həndəsi təsviri

İkinci Fik tənliyində sol tərəf konsentrasiyanın zamana görə dəyişmə sürətini, sağ tərəf isə konsentrasiyanın fəzada paylanmasını, xüsusən də oxa proyeksiyalanan temperatur paylanma funksiyasının qabarıqlığını ifadə edən ikinci tərtib xüsusi törəmədir..

Çoxkomponentli diffuziya və termodiffuziya üçün Onsager tənlikləri

Fik qanunları kiçik konsentrasiyalar $n$ və konsentrasiya qradientlərinin $-\nabla n$ kiçik olduğu hallarda tətbiq olunur.

1931-ci ildə Lars Onsager xətti qeyri-taraz termodinamik sistemlər üçün çoxkomponentli mühitlərdə daşınma proseslərini təsvir edən modeli təklif etmişdir:

$\mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}$

Burada $\mathbf {J} _{i}$ — i-ci komponentin seli, $X_{j}$ — termodinamik qüvvə, $L_{ij}$ — kinetik əmsallar matrisidir.

Onsagerə görə termodinamik qüvvə entropiyanın müvafiq törəməsinin qradienti kimi təyin olunur:

$X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}$

Burada $n_{i}$ — termodinamik koordinatlardır. İstilik və kütlə ötürülməsi üçün qəbul edək ki, $n_{0}=u$ (daxili enerjinin sıxlığı), $n_{i}$ isə i-ci komponentin konsentrasiyasıdır.

Bu halda termodinamik qüvvələr belə ifadə olunur:

$X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}},\quad X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\quad (i>0)$

çünki

$ds={\frac {1}{T}}du-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}dn_{i}$

Burada $T$ — temperatur, $\mu _{i}$ — i-ci komponentin kimyəvi potensialıdır.

Bu baxış mühitin makroskopik hərəkəti nəzərə alınmadan aparılır, buna görə təzyiq törəməsi ilə bağlı hədlər nəzərə alınmır. Bu yanaşma kiçik konsentrasiyalar və kiçik qradientlər üçün uyğundur.

Tarazlıq nöqtəsinə yaxın xətti yaxınlaşmada termodinamik qüvvələr belə yazılır:

$X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}$

Kinetik əmsallar matrisi $L_{ij}$ simmetrik olmalıdır (Onsager teoremi) və entropiyanın artımı şərtinə görə müsbət müəyyənlidir.

Daşınma tənliyi aşağıdakı formada yazılır:

${\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\mathrm {div} \,\mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\,\mathrm {div} \,X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\Delta n_{k}$

Burada indekslər $i,j,k=0,1,2,\ldots$ daxili enerjiyə (0) və müxtəlif komponentlərə aiddir.

Kvadrat mötərizədəki ifadə $D_{ik}$ matrisini — diffuziya, termodiffuziya və istilikkeçirmə əmsallarını təyin edir:

• $i,k>0$ — diffuziya əmsalları
• $i>0,k=0$ və ya $i=0$ — termodiffuziya
• $i=k=0$ — istilikkeçirmə

İzotermik halda ($T=const$) termodinamik potensial sərbəst enerji ilə ifadə olunur.

Bu halda termodinamik qüvvə:

$-{\frac {1}{T}}\nabla \mu _{j}$

şəklində olur və diffuziya əmsalları matrisi belə yazılır:

$D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\quad (i,k>0)$

Termodinamik qüvvələrin və kinetik əmsalların seçilməsində müəyyən qeyri-müəyyənlik mövcuddur, çünki ölçülə bilən yalnız onların kombinasiyasıdır:

$\sum _{j}L_{ij}X_{j}$

Məsələn, Onsagerin orijinal işində əlavə bir $T$ əmsalı istifadə olunmuşdur, halbuki digər mənbələrdə bu amil fərqli götürülə bilər. Bu fərqlər son nəticəyə təsir etmir.

Qeyri-diaqonal diffuziya və qeyri-xəttilik

Xətti qeyri-taraz termodinamika diffuziya üçün aşağıdakı xətti tənliklər sistemini verir:

${\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}\Delta c_{j}$

Əgər $D_{ij}$ matrisi diaqonaldırsa, bu sistem müxtəlif komponentlər üçün müstəqil Fik tənliklərinə çevrilir.

Lakin $D_{12}\neq 0$ olduqda və $c_{2}=\cdots =c_{n}=0$ vəziyyətinə baxsaq, onda:

${\frac {\partial n_{2}}{\partial t}}=D_{12}\Delta n_{1}$

Əgər müəyyən nöqtədə

$D_{12}\Delta n_{1}(x)<0$

olarsa, qısa zaman ərzində $n_{2}(x)$ mənfi qiymət ala bilər.

Bu isə fiziki baxımdan mümkün deyil. Buna görə:

Qeyri-diaqonal çoxkomponentli diffuziya tənlikləri xətti deyil, qeyri-xətti olmalıdır.